TEORI HIMPUNAN
Himpunan (set)
· Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
· Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x Î A: x merupakan anggota himpunan A;
x Ï A: x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A= {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3 A
5 B
{a, b, c} Î R
c Ï R
{} Î K
{} Ï R
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka
a Î P1
a Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3
2. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
· Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { xú syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x| x P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
· Jumlah elemen di dalam Adisebut kardinal dari himpunan A.
· Notasi: n(A) atau êA ê
Contoh 6.
(i) B= { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
Himpunan Kosong
· Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
· Notasi : Æ atau {}
Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
· himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
· himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
· {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
· Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
· Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
· Notasi: A Í B
· Diagram Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) N Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y< 4, x ³, y ³ 0 } dan
B= { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan Aberlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari Aitu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
· A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.
· A Í B berbeda dengan A Ì B
(i) A Ì B: A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.
Aadalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari Byang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Sama
· A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
· A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.
· Notasi : A = B « A Í Bdan B Í A
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A= { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A= A, B = B, dan C = C
(b) jika A= B, maka B = A
(c) jika A= B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
· Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
· Notasi : A ~ B « ½A½ = ½B½
Contoh 10.
Misalkan A= { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ Bsebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan Saling Lepas
· Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
· Notasi : A // B
· Diagram Venn:
Contoh 11.
Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa
· Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan Asendiri.
· Notasi : P(A) atau 2A
· Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
· Notasi : A Ç B = { x | x Î Adan x Î B }
 |
Contoh 14.
(i) Jika A= {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A Ç B = {4, 10}
(ii) Jika A= { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .
Artinya: A // B
b. Gabungan (union)
· Notasi : A È B = { x | x Î Aatau x Î B }
 |
Contoh 15.
(i) Jika A= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A = A
c. Komplemen (complement)
· Notasi : 
= { x | x Î U, x Ï A}
= { x | x Î U, x Ï A} |
Contoh 16.
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 6, 8}(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 } Contoh 17. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (EÇ A) È (EÇ B) atau E Ç (A È B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à 
d. Selisih (difference)
· Notasi : A – B= { x | x Î A dan x Ï B} = A Ç 
 |
Contoh 18.
(i) Jika A= { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A=
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
· Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)
Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A Å B = B Å A (hukum komutatif)
(b) (A Å B ) Å C = A Å (BÅ C) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
· Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B}
Contoh 20.
(i) Misalkan C= { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C´ D= { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
C´ D= { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A= B = himpunan semua bilangan riil, maka
A´ B= himpunan semua titik di bidang datar
A´ B= himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C= {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4. Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A= Æ
Contoh 21. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Contoh 21. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ) (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P(Æ) = {Æ}
(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d) P(P({3})) = P({ Æ, {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }
Perampatan Operasi Himpunan
    |
Contoh 22.
(i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn)
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B= {a, b}, dan C = {a, b}, maka
A ´ B ´ C= {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }
Hukum-hukum Himpunan
| 1. Hukum identitas: A = A A U = A | 2. Hukum null/dominasi: A = A U = U |
| 3. Hukum komplemen: A  = U A = | 4. Hukum idempoten: A A = A A A = A |
| 5. Hukum involusi:  = A | 6. Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A |
| 7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A | 8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C |
| 9. Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) | 10. Hukum De Morgan:  =   =  |
| 11. Hukum 0/1  = U = Æ |  |
Prinsip Dualitas
· Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
- bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
(b) di Inggris,
- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
- bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
· (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ®U, U ® , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
| 1. Hukum identitas: A = A | Dualnya: A U = A |
| 2. Hukum null/dominasi: A = | Dualnya: A U = U |
| 3. Hukum komplemen: A = U | Dualnya: A = |
| 4. Hukum idempoten: A A = A | Dualnya: A A = A |
| 5. Hukum penyerapan: A (A B) = A | Dualnya: A (A B) = A |
| 6. Hukum komutatif: A B = B A | Dualnya: A B = B A |
| 7. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C | Dualnya: A (B C) = (A B) C |
| 8. Hukum distributif: A (B C)=(A B) (A C) | Dualnya: A (B C) = (A B) (A C) |
| 9. Hukum De Morgan: = | Dualnya: = |
| 10. Hukum 0/1 = U | Dualnya: = Æ |
Contoh 23. Dual dari (A B) (A ) = A adalah
) = A adalah (A B) (A ) = A.
) = A. Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½
½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A Ç B= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
yang ditanyakan adalah ½A È B½.
½A½ = ë100/3û = 33,
½B½ = ë100/5û = 20,
½A Ç B½ = ë100/15û = 6
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ – ½A Ç B½ –
½A Ç C½ – ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:
½A1 È A2È … È Ar½ = 
½Ai½ – 
½Ai Ç Aj½ +
½Ai½ – ½Ai Ç Aj½ + 
½Ai Ç Aj Ç Ak½ + … + (-1)r-1½A1 Ç A2Ç … Ç Ar½
Partisi
· Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari Asedemikian sehingga:
(a) A1 È A2È … = A, dan
(b) Ai Ç Aj= Æ untuk i¹ j
Contoh 25. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Himpunan Ganda
· Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
· Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
· Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
· Kardinalitas dari suatu multisetdidefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multisetsemua berbeda.
Operasi Antara Dua Buah Multiset:
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },
P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }
2. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }
P Q = { a, a, c }
3. P – Qadalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:
multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
0, jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e} dan Q = { a, a, b, b, b, c,
c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }
4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },
P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
· Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
· Pernyataan dapat berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (AÇ C)”
2. Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 26. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (AÇ C) dengan diagram Venn.
Bukti:
 |  |
A Ç (BÈ C) (A Ç B) È (AÇ C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (AÇ C).
· Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
· Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (AÇ C).
Bukti:
| A | B | C | B È C | A Ç (B È C) | A Ç B | A Ç C | (A Ç B) È (A Ç C) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Karena kolom A Ç (BÈ C) dan kolom (A Ç B) È (AÇ C) sama, maka A Ç (BÈ C) = (A Ç B) È (A Ç C).
3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh 28. Misalkan Adan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A
) = ABukti:
(A Ç B) È (AÇ ) = A Ç (B È ) (Hukum distributif)
) = A Ç (B È ) (Hukum distributif) = AÇ U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)
Contoh 29. Misalkan Adan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B
Bukti:
AÈ (B– A) = A È (BÇ ) (Definisi operasi selisih)
) (Definisi operasi selisih) = (AÈ B) Ç (AÈ ) (Hukum distributif)
) (Hukum distributif) = (AÈ B) Ç U (Hukum komplemen)
= AÈ B (Hukum identitas)
Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i) A È ( Ç B) = A È B dan
Ç B) = A È B dan(ii) A Ç ( È B) = A Ç B
È B) = A Ç BBukti:
(i) A È ( Ç B) = ( AÈ ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
Ç B) = ( AÈ ) Ç (A Ç B) (H. distributif) = U Ç (A Ç B) (H. komplemen)
= A È B (H. identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A Ç ( È B) = (AÇ ) È (A Ç B) (H. distributif)
È B) = (AÇ ) È (A Ç B) (H. distributif) = Æ È (A Ç B) (H. komplemen)
= A Ç B (H. identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
· Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Íatau Ì).
Contoh 31. Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Í Qjika dan hanya jika setiap x Î Pjuga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (BÈ C), maka dari definisi himpunan bagian, xjuga Î (BÈ C).
Dari definisi operasi gabungan (È), xÎ (BÈ C) berarti x Î Batau x Î C.
(ii) Karena xÎ Adan A Ç B = Æ, maka x Ï B
Dari (i) dan (ii), x Î Charus benar. Karena "x Î Ajuga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .
Tipe Set dalam Bahasa Pascal
· Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; { enumerasi }
Huruf = set of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }
· Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];
· Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:
if ‘A’ in HurufKu then ...
· Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan iconuntuk window:
type
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,
biMaximaze);
Huruf = set of TBoderIcon;
0 Response to "TEORI HIMPUNAN"
Post a Comment